Program Dinamis (Dynamic Programming)

Metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.


Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini:

1. terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin, 
2. solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya, 
3. kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

Karakteristik Persoalan

1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan.
2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.

Dua pendekatan PD

Dua pendekatan yang digunakan dalam PD: maju (forward atau up-down) dan mundur (backward atau bottom-up).

Penganggaran Modal (Capital Budgeting)

• Sebuah perusahaan berencana akan mengembangkan usaha (proyek) melalui ketiga buah pabrik (plant) yang dimilikinya. Setiap pabrik diminta mengirimkan proposal (boleh lebih dari satu) ke perusahaan untuk proyek yang akan dikembangkan. Setiap proposal memuat total biaya yang dibutuhkan (c) dan total keuntungan (revenue) yang akan diperoleh (R) dari pengembangan usaha itu. Perusahaan menganggarkan Rp 5 milyar untuk alokasi dana bagi ketiga pabriknya itu.
• Tabel berikut meringkaskan nilai c dan R untuk masing-masing proposal proyek. Proposal proyek bernilai-nol sengaja dicantumkan yang berarti tidak ada alokasi dana yang diberikan ntuk setiap pabrik. Tujuan Perusahaan adalah memperoleh keuntungan yang maksimum dari pengalokasian dana sebesar Rp 5 milyar tersebut. Selesaikan persoalan ini dengan program dinamis. 

Integer (1/0) Knapsack

Pada persoalan ini:

1. Tahap (k) adalah proses memasukkan barang ke dalam karung (knapsack) (ada 3 tahap). 
2. Status (y) menyatakan kapasitas muat karung yang tersisa setelah memasukkan barang pada tahap sebelumnya. 

Dari tahap ke-1, kita masukkan objek ke-1 ke dalam karung untuk setiap satuan kapasitas karung sampai batas kapasitas maksimumnya. Karena kapasitas karung adalah bilangan bulat, maka pendekatan ini praktis.

•Misalkan ketika memasukkan objek pada tahap k, kapasitas muat karung sekarang adalah y – wk.
•Untuk mengisi kapasitas sisanya, kita menerapkan prinsip optimalitas dengan mengacu pada nilai optimum dari tahap sebelumnya untuk kapasitas sisa
y – wk ( yaitu fk-1(y – wk)).

Penyelesaian dengan Program Dinamis

•Tahap (k) adalah proses mengalokasikan dana untuk setiap pabrik (ada 3 tahap, tiap pabrik mendefinisikan sebuah tahap).
•Status (xk) menyatakan jumlah modal yang dialokasikan pada pada setiap tahap (namun terikat bersama semua tahap lainnya).
•Alternatif (p) menyatakan proposal proyek yang diusulkan setiap pabrik. Pabrik 1, 2, dan 3 masing-masing memiliki 3, 4 dan 2 alternatif proposal.
•Selanjutnya, kita bandingkan nilai keuntungan dari objek pada tahap k (yaitu pk) plus nilai fk-1(y – wk) dengan keuntungan pengisian hanya k – 1 macam objek, fk-1(y).
•Jika pk + fk-1(y – wk) lebih kecil dari fk-1(y), maka objek yang ke-k tidak dimasukkan ke dalam karung, tetapi jika lebih besar, maka objek yang ke-k dimasukkan.


•fk(y) adalah keuntungan optimum dari persoalan 0/1 Knapsack pada tahap k untuk kapasitas karung sebesar y.
•f0(y) = 0 adalah nilai dari persoalan knapsack kosong (tidak ada persoalan knapscak) dengan kapasitas y,
•fk(y) = -¥ adalah nilai dari persoalan knapsack untuk kapasitas negatif. Solusi optimum dari persoalan 0/1 Knapsack adalah fn(M).